โครงงานคณิตศาสตร์

เรื่อง

ระบบจำนวนจริงและการประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวัน

 

คำนำ

               โครงงานคณิตศาสตร์ชิ้นนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งคณะผู้จัดทำมีความสนใจในเรื่องการระบบจำนวนจริงและการประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำจึงได้ศึกษาค้นคว้าและหาข้อมูลเพื่อจะนำมาทำโครงงานชิ้นนี้คณะผู้จัดทำได้หวังว่า โครงงานคณิตศาสตร์ชิ้นนี้จะมีประโยชน์แก่ผู้สนใจ และเพื่อนๆเยาวชนในโรงเรียนเป็นอย่างมาก

 

 

 

 

 

 

               คณะผู้จัดทำ

 

 

สารบัญ

เรื่อง                                                                                                                                     หน้า

บทคัดย่อ                                                                                                                              4-5

เนื้อหาโครงงาน                                                                                                                                                6-7

            - ความเป็นมา                                                                                                                                  

            - วัตถุประสงค์                                                                                                                                

            - กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง                                                                                                                   

            - วิธีดำเนินงาน

ตารางดำเนินงาน                                                                                                                8

ผลการศึกษา                                                                                                                       9-22     

-ระบบจำนวนจริง

                                                                                                 

สรุปผล                                                                                                                            23

บรรณานุกรม                                                                                     24

 

 

 

 

 

บทคัดย่อ

หัวข้อ การศึกษาเรื่อง   ระบบจำนวนจริงและการประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวัน

ความเป็นมา

               ระบบจำนวนจริงเป็นระบบทางจำนวนคณิตศาสตร์และส่วนใหญ่เป็นนามธรรมทำให้ยากต่อการเข้าใจยากต่อ การคำนวณและในชีวิตประจำวันของเราก็ไม่ค่อยได้นำมาใช้กันจึงทำให้มีคนคิดพยายามค้นหาทางทำให้ระบบจำนวนจริงนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยทำสื่อขึ้นมาในรูปแบบหลากหลายอาทิเช่น เกมชิ้นงานต่างๆที่น่าสนใจทำ ให้ผู้เรียนให้ความสำคัญกับระบบจำนวนจริงในวิชาคณิตศาสตร์ฝึกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์คณะผู้จัดทำสนใจเรื่องนี้เพราะว่าเนื้อหาของระบบจำนวนจริงยากต่อการเข้าใจ และน่าจะนำไปประยุกต์ใช้งานได้ จึงวางแผนร่วมกันค้นหาการประยุกต์เกี่ยวกับระบบจำนวนจริงเพื่อใช้ในการศึกษาระดับสูงต่อไปได้คณะผู้จัดทำ จึงเสนอทำโครงงานนี้

จุดประสงค์

               1.เพื่อศึกษาการประยุกต์เกี่ยวกับระบบจำนวนจริง

               2.เพื่อนำการประยุกต์ใช้งานไปศึกษาต่อในระดับต่อไปได้

กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง

               1.ภาษาไทย       เกี่ยวกับการใช้ภาษาไทย การอ่าน คิดวิเคราะห์และเขียนสื่อความ

               2.คณิตศาสตร์    เกี่ยวกับระบบจำนวนจริง

               3.สังคมศึกษา     เกี่ยวกับความมีวินัย และกาทำงานร่วมกันด้วยความสามัคคี

 

 

 

 

 

 

 

วิธีการดำเนินงาน

               1.คณะทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนร่วมกันเขียนบทคัดย่อโครงงานเสนอต่อครูประจำวิชา เพื่อแก้ไขตรวจสอบความถูกต้องก่อนลงมือดำเนินงาน

               2.คณะทำงานค้นหาเก็บรวบรวมข้อมูลที่เชื่อถือได้จากแหล่งข้อมูลต่างๆ เช่น ห้องสมุด  สื่อสิ่งพิมพ์อินเทอร์เน็ต  ตำรา แล้วบันทึกข้อมูลลงแฟลชไดรว์

3.คณะทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ ร่วมกันวิเคราะห์และสังเคราะห์โดยสร้างสื่อที่จำเป็นประกอบการนำเสนอโครงงาน  ต่อครูประจำวิชาหน้าชั้นเรียน     

4.คณะทำงานรวบรวมงานที่ต้องส่งใส่แฟลชไดรว์  อัพโหลดขึ้นเซิร์ฟเวอร์ โดยขอ

รหัสผ่านจากครู โดยให้ครู,เพื่อนและผู้ปกครอง ประเมินผลการทำโครงงาน

5.คณะผู้จัดทำจัดพิมพ์เอกสารทำรูปเล่ม ส่งครูประจำวิชา

ผลที่คาดว่าจะได้รับ

               1.สามารถเรียนรู้เรื่องการประยุกต์เกี่ยวกับระบบจำนวนจริงได้เป็นอย่างดี

               2.สามารถนำการประยุกต์ไปใช้ศึกษาต่อในระดับต่อไปได้

 

 

เนื้อหาโครงงาน

ความเป็นมา

               ระบบจำนวนจริงเป็นระบบทางจำนวนคณิตศาสตร์และส่วนใหญ่เป็นนามธรรมทำให้ยากต่อการเข้าใจยากต่อ การคำนวณและในชีวิตประจำวันของเราก็ไม่ค่อยได้นำมาใช้กันจึงทำให้มีคนคิดพยายามค้นหาทางทำให้ระบบจำนวนจริงนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยทำสื่อขึ้นมาในรูปแบบหลากหลายอาทิเช่น เกมชิ้นงานต่างๆที่น่าสนใจทำ ให้ผู้เรียนให้ความสำคัญกับระบบจำนวนจริงในวิชาคณิตศาสตร์ฝึกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์คณะผู้จัดทำสนใจเรื่องนี้เพราะว่าเนื้อหาของระบบจำนวนจริงยากต่อการเข้าใจ และน่าจะนำไปประยุกต์ใช้งานได้ จึงวางแผนร่วมกันค้นหาการประยุกต์เกี่ยวกับระบบจำนวนจริงเพื่อใช้ในการศึกษาระดับสูงต่อไปได้คณะผู้จัดทำ จึงเสนอทำโครงงานนี้

จุดประสงค์

               1.เพื่อศึกษาการประยุกต์เกี่ยวกับระบบจำนวนจริง

               2.เพื่อนำการประยุกต์ใช้งานไปศึกษาต่อในระดับต่อไปได้

กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง

               1.ภาษาไทย       เกี่ยวกับการใช้ภาษาไทย การอ่าน คิดวิเคราะห์และเขียนสื่อความ

               2.คณิตศาสตร์    เกี่ยวกับระบบจำนวนจริง

               3.สังคมศึกษา     เกี่ยวกับความมีวินัย และกาทำงานร่วมกันด้วยความสามัคคี

 

 

วิธีการดำเนินงาน

               1.คณะทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนร่วมกันเขียนบทคัดย่อโครงงานเสนอต่อครูประจำวิชา เพื่อแก้ไขตรวจสอบความถูกต้องก่อนลงมือดำเนินงาน

               2.คณะทำงานค้นหาเก็บรวบรวมข้อมูลที่เชื่อถือได้จากแหล่งข้อมูลต่างๆ เช่น ห้องสมุด  สื่อสิ่งพิมพ์อินเทอร์เน็ต  ตำรา แล้วบันทึกข้อมูลลงแฟลชไดรว์

3.คณะทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ ร่วมกันวิเคราะห์และสังเคราะห์โดยสร้างสื่อที่จำเป็นประกอบการนำเสนอโครงงาน  ต่อครูประจำวิชาหน้าชั้นเรียน     

4.คณะทำงานรวบรวมงานที่ต้องส่งใส่แฟลชไดรว์  อัพโหลดขึ้นเซิร์ฟเวอร์ โดยขอ

รหัสผ่านจากครู โดยให้ครู,เพื่อนและผู้ปกครอง ประเมินผลการทำโครงงาน

5.คณะผู้จัดทำจัดพิมพ์เอกสารทำรูปเล่ม ส่งครูประจำวิชา

ผลที่คาดว่าจะได้รับ

               1.สามารถเรียนรู้เรื่องการประยุกต์เกี่ยวกับระบบจำนวนจริงได้เป็นอย่างดี

               2.สามารถนำการประยุกต์ไปใช้ศึกษาต่อในระดับต่อไปได้

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ตารางดำเนินงาน

 

วัน/เดือน/ปี

รายงาน

ผู้รับผิดชอบ

24 ธันวาคม 54

ประชุมเพื่อรับมอบหมายงาน

คณะผู้จัดทำ

25 ธันวาคม 54

เก็บรวบรวมข้อมูลจาก Web Site

นางสาวกัลยาณี ช่างเหล็ก

นางสาวเกดสุดา คูณโท

31 ธันวาคม 54

ประชุมเพื่อวิเคราะห์ข้อมูลและผลการศึกษา

คณะผู้จัดทำ

7 มกราคม 55

จัดพิมพ์บทคัดย่อ

นางสาวทิพย์สุดา ตรีปัญญา

นางสาวศรัณยธร เสนีวงศ์ ณ อยุธยา

 30 มกราคม 55

นำเสนอโครงงานต่อที่ประชุม

v      บทคัดย่อ

v      เนื้อหาโครงงาน

v      สรุปผลการดำเนินงาน

นางสาวจิราภรณ์ น้อยกมล

นายเจตวุฒิ อรุณทวีทรัพย์

-

จัดทำรูปเล่มและเอกสารส่งอาจารย์ที่ปรึกษา

คณะผู้จัดทำ

 

 

 

 

 

 

 

ผลการศึกษา

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real3.jpg

•

ระบบจำนวนจริง

     จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

     1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น 2 , 3, 5, -2, - 3, -5 หรือ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

     2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

เขียนแทนด้วย 0.5000...

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real6.jpg

เขียนแทนด้วย 0.2000...

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real7.jpg

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real8.jpg

 

 

• ระบบจำนวนตรรกยะ

     จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

     1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

     2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

 

 

 

• ระบบจำนวนเต็ม

     จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real4.jpg

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่
          I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

2. จำนวนเต็มศูนย (0)

3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
         I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

         จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
                           N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

 

• ระบบจำนวนเชิงซ้อน

     นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้

 

x2 = -1

 x = -1 = i

 

x2 = -2

x = -2 = 2 i

 

x2 = -3

x = -3 = 3 i

     จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก -1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i

     ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

 

 

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar2.jpg

• สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติการสะท้อน a = a

     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

     4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

     5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

    

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

 

• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

     2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

     4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

    นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

    5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

     6. สมบัติการแจกแจง

               a( b + c ) = ab + ac

               ( b + c )a = ba + ca

     จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

 

 

ทฤษฎีบทที่ 1

กฎการตัดออกสำหรับการบวก

 

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

 

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

 

 

ทฤษฎีบทที่ 2

กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

 

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

ถ้า ac = bc และ c 0 แล้ว a = b

 

ถ้า ab = ac และ a 0 แล้ว b = c

 

 

ทฤษฎีบทที่ 3

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

a · 0 = 0

 

0 · a = 0

 

 

ทฤษฎีบทที่ 4

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

(-1)a = -a

 

a(-1) = -a

 

 

ทฤษฎีบทที่ 5

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

 

 

ทฤษฎีบทที่ 6

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

a(-b) = -ab

 

(-a)b = -ab

 

(-a)(-b) = ab

 

 

      เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

 

 

• การลบจำนวนจริง

 

 

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

a- b = a + (-b)

 

นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

 

 

• การหารจำนวนจริง

 

 

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b 0

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= a(b-1)

 

นั่นคือ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

 

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar5.jpg

บทนิยาม

a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b

 

a > b     หมายถึง    a มากกว่า b

 

 

 

• สมบัติของการไม่เท่ากัน

 

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

1.

สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

 

2.

สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

 

3.

จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ

 

 

a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0

 

 

a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

 

4.

สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์

 

 

ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

 

 

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

 

5.

สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

 

6.

สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

 

 

ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b

 

 

ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

 

 

 

บทนิยาม

a b

หมายถึง

a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b

a b

หมายถึง

a มากกว่าหรือเท่ากับ b

a < b < c

หมายถึง

a < b และ b < c

a b c

หมายถึง

a b และ b c

 

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/realbar3.jpg

บทนิยาม

สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป

 

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

 

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"

 

 

 

 

 

ตัวอย่างเช่น

 

4x2 + 4x +1 = 0

 

2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0

 

 

• การแก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2

          สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ

 

 

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

 

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

 

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an 0

 

ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ

 

การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)

 

นั่นคือ เศษของ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real10.jpg

คือ f(c)

 

 

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

 

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

 

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an 0

 

พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0

 

ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real10.jpg

คือ 0

 

แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว

 

นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)

 

 

ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

 

เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

 

โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an 0

 

ถ้า x -Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real11.jpgเป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

 

ซึ่ง m 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว

 

(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an

 

(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0

 

 

 

ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้

 

      1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้

 

f(Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real11.jpg) = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

 

      2. นำ x - c หรือ x -

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real11.jpg

ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร

 

จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1

 

      3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 1

จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2

 

 f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0

 

x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real12.jpg

= x2 - x - 2

 

          x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)

 

                                   = (x-1)(x-2)(x+1)

 

x3 - 2x2 - x + 2 = 0

 

(x-1)(x-2)(x+1) = 0

 

                       x = 1, 2, -1

 

เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18

 

 f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0

 

x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)

 

x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)

 

                                    = (x-1)(x-3)(x-6)

 

x3 - 10x2 + 27x -18 = 0

 

(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0

 

                       x = 1, 3, 6

 

เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3

 

 f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0

 

           = 27 - 9 - 15 - 3

 

           = 0

 

x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)

 

x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)

 

                           = (x-3)(x+1)(x+1)

 

x3 - x2 - 5x - 3 = 0

 

(x-3)(x+1)(x+1) = 0

 

                        x = 3, -1

 

เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 4

จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30

 

 f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0

 

           = 16 - 12 - 34 +30

 

           = 0

 

x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)

 

2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)

 

                                     = (x-2)(2x - 5)(x+3)

 

2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0

 

(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0

 

x =2,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real13.jpg

, -3

 

เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real13.jpg

}

-------------------------------------------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4

 

  f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0

 

           = -48 + 44 + 8 - 4

 

           = 0

 

x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)

 

6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)

 

                                    = (x+2)(3x-2)(2x+1)

 

6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0

 

(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0

 

x = -2,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real14.jpg

,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real15.jpg

 

เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real15.jpg

,

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real14.jpg

}

-------------------------------------------------------------------

 

 

ช่วงของจำนวนจริง

 

กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b

 

1. ช่วงเปิด (a, b)

 

           (a, b) = { x | a < x < b }

 

 

 

 

2. ช่วงปิด [a, b]

 

           [a, b] = { x | a x b }

 

 

 

 

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]

 

          (a, b] = { x | a < x b }

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real18.jpg

 

 

 

4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)

 

          [a, b) = { x | a x < b }

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real19.jpg

 

 

 

5. ช่วง (a, )

 

          (a, ) = { x | x > a}

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real20.jpg

 

 

 

6. ช่วง [a, )

 

          [a, ) = { x | x a}

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real21.jpg

 

 

 

7. ช่วง (-, a)

 

         (-, a) = { x | x < a}

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real22.jpg

 

 

 

 

 

8. ช่วง (-, a]

 

         (-, a] = { x | x a}

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real23.jpg

 

 

• การแก้อสมการ

 

     อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย , , , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว

 

     คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง

 

     เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

 

 

 

หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

 

เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น

 

1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน

 

     ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c

 

2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน

 

     ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

 

     ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

-------------------------------------------------------------------

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1

จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12

วิธีทำ

 

x + 3

> 

12

 

x + 3 + (-3)

> 

12 + (-3)

 

 

x

> 

9

 

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, )

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9

วิธีทำ

 

2x + 1

< 

9

 

2x + 1 + (-1)

< 

9 + (-1)

 

 

2x

< 

8

 

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(2x)

< 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(8)

 

 

x

< 

4

 

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-, 4)

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 2x + 5

วิธีทำ

 

4x - 5

2x + 5

 

 

4x - 5 + 5

2x + 5 + 5

 

 

4x

2x + 10

 

 

4x - 2x

2x + 10 - 2x

 

 

2x

10

 

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(2x)

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real5.jpg

(10)

 

 

x

5

 

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-, 5]

-------------------------------------------------------------------

 

 

 

หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง

 

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0

 

2. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= 0 แล้ว จะได้ a = 0

 

3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

 

4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

 

5. ถ้า ab 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0

 

6. ถ้า ab 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0

 

7. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

> 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

 

8. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

< 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

 

9. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

0 แล้ว จะได้

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

> 0 หรือ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= 0

 

10. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

0 แล้ว จะได้

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

< 0 หรือ

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real9.jpg

= 0

-------------------------------------------------------------------

 

ตัวอย่างที่ 4

จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0

วิธีทำ

 

ถ้า (x - 3)(x - 4)

> 

0 แล้วจะได้

 

 

x - 3

> 

0 และ x - 4 > 0

 

 

x

> 

3 และ x > 4

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real24.jpg

 

เมื่อ x - 3

> 

0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4

 

 

หรือ x - 3

< 

0 และ x - 4 < 0

 

 

x

< 

3 และ x < 4

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real25.jpg

 

x - 3

< 

0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3

 

นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ

 

{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-, 3 ) (4, )

-------------------------------------------------------------------

 

ตัวอย่างที่ 5

จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0

วิธีทำ

 

ถ้า (x - 3)(x - 4)

< 

0 แล้วจะได้

 

 

x - 3

> 

0 และ x - 4 < 0

 

 

x

> 

3 และ x < 4

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real26.jpg

 

เมื่อ x - 3

> 

0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4

 

 

หรือ x - 3

< 

0 และ x - 4 > 0

 

 

x

< 

3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้

 

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real27.jpg

 

ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0

 

นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ

 

{ x | 3 < x < 4 } = (3, 4)

-------------------------------------------------------------------

 

จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้

กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว

1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b

2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b

3. ถ้า (x - a)(x - b) 0 จะได้ x a หรือ x b

4. ถ้า (x - a)(x - b) 0 จะได้ a x b

5. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpg

> 0 จะได้ x < a หรือ x > b

6. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpg

< 0 จะได้ a < x < b

7. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpg

0 จะได้ x a หรือ x > b

8. ถ้า

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real28.jpg

0 จะได้ a x < b

หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

Description: http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/image/real29.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

สรุปผล

ประโยชน์ที่ได้รับจากการศึกษา 

1. เกิดความรู้ความเข้าใจในระบบจำนวนจริงและการประยุกต์

2. มีความรู้และเข้าใจเกี่ยวกับการทำโครงงานในรูปแบบลักษณะต่างๆ

3. เป็นการพัฒนาการเรียนรู้ในรูปแบบใหม่                             

4. รู้จักการทำงานเป็นระบบ และการทำงานเป็นกลุ่ม

5. ทำให้มีความรับผิดชอบต่อการทำงาน                                                

6. สามารถนำความรู้เรื่องระบบจำนวนจริงและการประยุกต์ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         

 

 

 

                       บรรณานุกรม

หนังสือคณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ ๔

http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/index.html

http://www.sanook.com

 

เสนอ

อาจารย์สมบัติ  สัณหรัติ

จัดทำโดย

นางสาวเกศสุดา                คูณโท                                  เลขที่ 2

นางสาวจิราภรณ์               น้อยกมล                             เลขที่ 3

นางสาวทิพย์สุดา              ตรีปัญญา                            เลขที่ 9

นางสาวกัลยาณี                 ช่างเหล็ก                                           เลขที่ 22

นางสาวศรัณยธร               เสนีวงศ์ ณ อยุธยา             เลขที่ 32

นายเจตวุฒิ                         อรุณทวีทรัพย์                    เลขที่ 37

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่  5/1